Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Π π
Պին (հունարեն` πι), հունական այբուբենի տասնվեցերորդ տառն է։ Հունական այբուբենում թվային արժեքն է` 80։ Այդ տառից է առաջացել Կիրիլիցայի П տառը։
Մեծ Π տառով՝
- Մաթեմատիկայում
-ով արտահայտվում է արտադրիչների արտադրյալը, այնպես, ինչպես
-ով՝ գումարը։
Փոքրատառ π-ով՝
- Մաթեմատիկական π ≈ 3.14159…, հաստատունը՝ շրջանագծի երկարության հարաբերությունը տրամագծին։
ֆունկցիան
-ին չգերազանցող պարզ թվերի քանակն է։.
- պի-մեզոն տարրական մասնիկը
π թվի հաշվարկման համար շատ մանաձևեր կան
Հայտնի են
թվի կիրառման շատ տարբերակներ՝
- Վիետի ֆորմուլան π թվի համար՝
![{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0152c58984a5431197bd30275c0cfcbc0d2d8f7)
- pi թվի կիրառմումը գործողությունների մեջ՝
, որի արդյունքում ստացվում է՝
![{\displaystyle \phi \cdot \cos {\tfrac {\phi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {\phi }{4}}\cdots =\sin \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0fb5b7ed25555a1aea66bcc3cb23a31dba8278d)
- մնում է ավելացնել
ր և կիրառել կրկնակի կոսինուսի բանաձևը՝
![{\displaystyle {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e8ba0a2dbe36d2a8f29811dc704c04e308a154)
![{\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d58ba0166ed4dd58fb680de6efca702a9fb8ef)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\pi &={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}+{\tfrac {4}{8k+4}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+1}}+{\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}-{\tfrac {2}{8k+5}}-{\tfrac {2}{8k+6}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\tfrac {2}{4k+1}}+{\tfrac {2}{4k+2}}+{\tfrac {1}{4k+3}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d18f6ad23403ae7d5a06e58aa4333b74a606e26a)
![{\displaystyle \pi =2{\sqrt {3}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\,3^{k}\,(2k+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780333e53ec3cde7fd949a800dc6128b1167901d)
![{\displaystyle \pi =8\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(4m-2)^{2k}}}=4\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{2}-k^{2}}{(m^{2}+k^{2})^{2}}}={\sqrt[{4\,\,}]{360\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{k}{\frac {1}{m(k+1)^{3}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637f3bd1f1f43c56cd7c73ea811a470a11734006)
![{\displaystyle \pi =\lim \limits _{m\rightarrow \infty }{\frac {(m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[(2m)!\right]^{2}\,m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a427496d43d36660b1a338b6e4cc6e8a6f0c2e)
здесь
— простые числа
, որտեղ
հավասար է արտահայտության արմատին[1]։
![{\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec9f6702338ab012224d08d5669ab190d3de55c9)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{2k-1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7d3480334a849c1b9ad42ef8ed443385f47a0a)
![{\displaystyle \pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\right)^{2k+1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2a4ecd484d91eb5b29724a2437938ac6db2fa21)
![{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65a91043f9f1a91e19670fd18e1a0431b61d8228)
, որտեղ
— Բրինգի արմատն է։
![{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}=\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1faf63568ea196e458b5716136b3afc9c1093df7)
- Արտահայտություն երկխոսության միջոցով[2]`
![{\displaystyle \pi ={\sqrt {6\ln ^{2}2+12\ \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef597a93fdd50675201ef600079ff3aca5989892)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9016f95a85ecc1af2a5e253cec9e90df5c787a8)